СРЕДНЯЯ ШКОЛА №7
КОНТРОЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ПО ПРОГРАММЕ ПРИКЛАДНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКИ
«МАТЕМАТИКА И СТАТИСТИКА»
Автор- составитель: Бабаченко Л.П.., Ким А.А. учитель математики СШ № 7
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Данная пособие адресовано учителям математики, учащимся-старшеклассникам. Его назначение — предоставить читателю вопросы и задания для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения по математике и статистике.
Со случайными событиями разного рода мы встречаемся чаще, чем это принято считать. Все явления, которые окружают нас, происходят и изменяются с какой-то долей случайности, неопределенности. Случайные факторы лежат в основе окружающей среды, экономики, политики, социальной и общественной жизни, они определяют течение любого процесса массового обслуживания - торговли, телефонной связи, транспортных услуг и медицинской помощи. Задача управления различного рода процессами, которая наиболее остро стоит перед современным обществом, состоит в том, чтобы научиться хорошо ориентироваться в мире случайностей и активно действовать, опираясь на скрытые специфические закономерности.
Основой для научного подхода к решению подобного рода вопросов и является один из разделов математики - теория вероятностей. Вероятностные законы, теоремы и выводы являются теоретической основой для методов математической статистики, эконометрики, прогнозирования.
Огромные объемы информации, которые являются отличительной чертой современного общества, требуют их научного анализа и использования научно обоснованных выводов, прогнозов и методик планирования хозяйственной деятельности, основанных на статистической обработке информации. Этот факт предопределяет неразрывную связь фундаментальной теории и практики. Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» приобрела в настоящее время практический характер. Модели исследования закономерностей, разрабатываемые специалистами в разных областях науки, техники, экономики, используют методы стохастического (вероятностного) анализа изучаемых процессов.
При написании настоящего учебного пособия преследовалась цель систематизировать и изложить материал в форме, доступной для студентов, для того, чтобы облегчить труд студентов и преподавателей в процессе изучения этой достаточно сложной математической дисциплины.
Контроль знаний и умений
Составными частями совместной деятельности учителя и учащихся по освоению программного материала, как и любой другой полноценной деятельности, являются ориентировочная, исполнительная и контролирующая. В контролирующей части устанавливается обратная связь в системе учитель – ученик, позволяющая регулярно получать информацию, используемую для определения качества усвоения учащимися учебного материала, своевременно диагностирования и корректирования их знаний и умений.
Различают в этой связи три типа контроля: внешний контроль учителя за деятельностью учащихся, взаимный контроль учащихся и самоконтроль.
Общую схему процесса формирования самоконтроля можно, таким образом, представить в следующем виде:
|
Внешний контроль |
|
взаимоконтроль |
|
самоконтроль |
Детализация этого процесса с учетом специфики формирования самоконтроля при обучении математике приводится в схеме 1.
При обучении самоконтролю особое внимание следует уделить ознакомлению и овладению учащимися приемами проведения контролирующих действий. Определенные трудности здесь связаны с тем, что в процессе преподавания математики используется большое число таких приемов. Для лучшей ориентации в них можно воспользоваться проведенной нами классификацией приемов самоконтроля, включающей:
- сверку с образцом
- повторное решение задачи
- решение обратной задачи
- проверку полученных результатов по условию задачи
- решение задачи различными способами
- моделирование
- примерную оценку искомых результатов
- проверку на частном случае
- испытание получаемых результатов по косвенным параметрам
В этих целях нами разработаны задания по математике на развитие самоконтроля учащихся. Отличительной особенностью предлагаемых заданий является то, что в ходе их выполнения на уроках оказываются взаимосвязанными процессы развития самоконтроля и осмысление учащимися изучаемого материала.
В общем контроль должен быть целенаправленным, объективным, всесторонним, регулярным и индивидуальным. Его результаты выражаются в оценке, характеризующейся установлением степени соответствия знаний и умений учащихся программным требованиям. Это соответствие может иметь цифровую или другую символическую форму выражения и фиксации оценки, именуемой отметкой.
Например устные ответы учащихся можно оценивать следующим образом.
Ответ оценивается отличной отметкой, если ученик:
- полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником.
- изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику.
- правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу.
- показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами
- продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков.
- отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя.
Возможны одна-две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.
Ответ оценивается хорошей отметкой, если он удовлетворяет в основном требованиям на отличную отметку, но при этом имеет один из недостатков:
- в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математического содержания ответа.
- допущены один-два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные по замечанию учителя.
- допущена ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов либо в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.
Удовлетворительная отметка ставится в следующих случаях:
- неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала.
- имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использовании терминологии, в чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя.
- При знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.
Неудовлетворительная отметка ставится в следующих случаях:
- не раскрыто основное содержание учебного материала.
- Обнаружено незнание или непонимание учеником большей части учебного материала.
Напомним, что погрешность считается ошибкой, если она свидетельствует о том, что ученик не овладел основными знаниями, умениями, указанными в программе.
К недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии знаний не считающихся в программе основными. К ним также относятся погрешности, которые не привели к искажению смысла полученного учеником задания или способа его выполнения, неаккуратная запись, небрежное выполнение чертежа.
Граница между ошибками и недочетами является в некоторой степени условной. При некоторых обстоятельствах допущенная учеником погрешность может рассматриваться учителем как ошибка, а в другое время и при других обстоятельствах как недочет.
Кроме того учитель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии учащегося, за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные учащемуся дополнительно после выполнения им заданий.
В практике обучения математике наибольшее распространение получили тесты:
- на установление истинности утверждения;
- с выбором верного ответа из нескольких заданных;
- на заполнение пропусков в истинном предложении;
- с перекрестным выбором, на установление соответствия между заданными элементами множеств;
- на установление правильной последовательности элементов заданного множества.
При организации контроля для повышения надежности получаемых результатов их следует варьировать совместно с другими видами текстов. Вместе с тем, учитывая проблемы стилей обучения, все-таки чаще следует использовать тексты, с которыми учащиеся справляются лучше. В классах же с углубленным изучением математики или в сильных классах требования к шкале оценок могут быть, как показывают наши исследования, повышены до следующих границ, зафиксированных в таблице 1
Таблица 1
|
Объем выполненной работы |
До 60% |
От 60 до 80% |
От 80 до 95% |
От 95 до 100% включительно |
|
Отметка |
2 |
3 |
4 |
5 |
С помощью этих двух шкал устанавливаются границы, в рамках которых учитель может отобрать наиболее подходящие нормы оценок. Приведем один из возможных вариантов такой школы оценок (таблица 2)
Пользуясь данной шкалой для оценивания результатов выполнения теста, скажем, включающего 10 заданий, устанавливаем: «3» можно выставить в случае, когда ученик верно выполнил 5,6 или 7 заданий; отметку «4» - за восемь заданий;
Отметку пять – за верно выполненные девять или десять заданий. Таблица 2
|
Объем выполненной работы |
До 50% |
От 50 до 75% |
От 75 до 90% |
От 90 до 100% включительно |
|
Отметка |
2 |
3 |
4 |
5 |
Рассмотрим подробнее вопрос о способах определения объема выполненной работы. Он может быть как и ранее вычислением процентного соотношения числа верно решенных заданий к общему числу заданий текста. Пусть, к примеру, в тест включено пять заданий. Тогда верно решенные, в частности, 5, 4 или 3 задания составляют 100%, 80%или 60% всей работы. И если при этом используется любая из трех приведенных выше шкал оценок, то в каждом случае выставляется соответствующая отметка: «5», «4» или «3».
Более точное измерение объема выполненной работы достигается во многих случаях с помощью оценивания в баллах каждого занятия и теста в целом..
На этапе овладения знаниями и умениями оценивание заданий в балах может осуществляться и в зависимости от их сложности , во многом определяемых затратами времени на их выполнение
Полученные данные иной раз сводятся в оценочную таблицу теста, которая в частности, может быть такой.
Таблица 3
|
Номер задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Балл |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
5 |
И в заключение несколько предложений общего характера. При устном опросе следует приучать себя и учащихся терпеливо и внимательно выслушивать ответы одноклассников. Комментарии и замечания лучше дать после того, как они до конца выскажутся, и непременно в доброжелательном тоне. Прервать ученика можно лишь в случае, когда он уклоняется от ответа на поставленный вопрос.
Письменные контрольные работы выполняются в специальных тетрадях, которые в течение всего года хранятся в общеобразовательном учреждении. Они проверяются и предъявляются для ознакомления учащимся к следующему уроку. Все контрольные работы обязательно оцениваются учителем с занесением отметок в классный журнал. Для подведения итогов, планирования работы по ликвидации пробелов в знаниях, постановке новых задач желательно заранее предусмотреть время проведения уроков анализа результатов контрольной работы. После проверки письменных работ учащимся дается задание по исправлению ошибок или выполнению упражнений, предупреждающих повторение аналогичных ошибок. Работа над ошибками, как правило, осуществляется в тех же тетрадях, в которых выполнялись письменные работы.
Отметка за четверть или полугодие выставляется по состоянию знаний учащихся на конец соответствующего этап обучения с учетом текущих отметок. Годовые отметки выставляются учителем до окончания учебных занятий на основании фактических знаний и умений учащихся к концу учебного года с учетом четвертных или полугодовых отметок. Итоговая отметка по предмету, по которому проводился экзамен, выставляется аттестационной комиссией. При этом надлежит руководствоваться следующим:
- итоговая отметка по предмету определяется на основании годовой и экзаменационной с учетом отметок промежуточной аттестации в выпускном классе;
при неудовлетворительной экзаменационной отметке не может быть выставлена положительная итоговая отметка.
Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Вопросы для самоконтроля
1. Что изучает комбинаторика?
2. Назовите известные соединения в комбинаторике.
3. Как называются соединения по т элементов, взятых из группы в п элементов, каждое из которых отличается от другого либо хотя бы одним элементом, либо порядком их расположения?
4. 4 студента претендуют на 3 места в олимпиаде. Сколько существует способов распределения мест между ними?
5. Как называются соединения по т элементов, взятых из группы в п элементов, каждое из которых отличается от других хотя бы одним элементом?
6. Сколькими способами можно выбрать 7 красок из 9?
7. Какие задачи решаются с помощью формул комбинаторики?
8. Если выполняются соотношения п > 2, т < п, то какое
число больше А
или С?
9. Как называются соединения по п элементов, каждое из которых отличается от другого порядком элементов?
10. Сколькими способами можно составить список из 5 фамилий?
11. Пусть 2 < т < п,
а п > 10. Определите что меньше: Аили А{сповт).
12. В каких задачах используются перестановки и перестановки с повторениями?
Варианты задач для самостоятельного решения
1. В библиотеке на книжной полке расставлены 10 книг различных авторов. 3 студента могут выбрать по одной книге. Сколько всевозможных вариантов выбора книг можно осуществить?
2. Паспорт гражданина состоит из серии и номера. Серия представляет собой 4 цифры, а номер -6 цифр, расположенных в произвольном порядке. Определите возможное количество различных паспортов, которое может быть выдано гражданам.
3. В магазине имеется 15 видов различных коробок с конфетами. Представитель фирмы покупает 10 коробок, выбирая каждую случайным образом. Сколько различных вариантов выбора он может совершить, если коробки с конфетами могут: быть и одинаковыми? Сколько существует способов выбрать случайно 10 самых дорогих коробок конфет, если все коробки с конфетами должны быть разными?
4. Собрание сочинений А. С. Пушкина издано в 6 томах. Книги расставляют на полке в случайном порядке. Сколько существует способов расставить эти тома? Сколько способов гарантирует, что первые 3 тома будут стоять по порядку возрастания номеров?
5. По объявлению о 8 вакансиях в строительной организации пришли на собеседование в офис 20 человек, а) Сколько существует способов приема кандидатов на работу в случайном порядке? б) Сколько имеется способов того, что они случайно будут приняты на работу в зависимости от времени их прихода в офис?
6. Каждая буква слова «статистика» написана на разных карточках. Сколькими различными способами можно переставить эти буквы?
7. В киоске продавец музыкальных дисков предлагает организатору дискотеки 9 различных дисков. Однако сумма, которой располагает диск-жокей, позволяет купить ему только 3 различных диска. Сколько существует способов случайного выбора 3 различных дисков из 9?
8. 9 писем поступили в офис фирмы утренней почтой. Сколько существует различных способов очередности вскрытия конвертов? Сколько способов гарантируют, что самое важное письмо случайно окажется среди 3 первых вскрытых конвертов?
9. На карточках разрезной азбуки написаны 33 буквы алфавита. 5 карточек вынимают наугад и укладывают на стол в порядке появления. Сколько существует способов составить разные слова из 5 букв? Сколько способов будут содержать буквы Л, Б и В?
10. В ящике имеется 15 одинаковых деталей к конструктору, из них 10 деталей окрашены в красный цвет. Наугад извлекают 3 детали. Сколько существует способов извлечения деталей, при которых все окажутся окрашенными в красный цвет.
11. На автовокзале имеется 5 стоянок с последовательными номерами. Прибывают 4 автобуса, а) Сколькими способами можно расставить автобусы на стоянки? б) Сколько существует способов случайно расставить автобусы в порядке времени их прибытия?
12. Фирма, имеющая 15 филиалов, решила подписаться на 15 различных периодических городских изданий. В городе печатается 30 видов периодической печати. Сколько существует способов подписки изданий при случайном выборе, если все Издания будут поступать: а) в главный офис; б) в различные Филиалы фирмы?
13. 3 работника строительной организации были награждены за хорошую работу туристической поездкой. Руководству организации предлагают свои услуги 5 различных туристических фирм по организации туристических поездок. Решено, что фирма может получить только один заказ на туристическую путевку, а) Сколько имеется способов получения путевок при случайном выборе фирм, если учитывать, что получение одним и тем же работником путевки от разных фирм неоднозначно? б) В скольких случаях при случайном выборе воспользуются услугами первой фирмы?
14. При заполнении карточки лотереи «Спортлото» игрок, должен зачеркнуть 6 из 49 возможных чисел от 1 до 49. Сколько возможных комбинаций можно составить из 49 по 6, если порядок чисел безразличен? В скольких вариантах будет угадано 3 конкретных числа?
15. Водительское удостоверение имеет номер, состоящий из 3 букв и 3 цифр. Чему равно общее число возможных номеров водительских удостоверений, считая, что число букв русского алфавита, используемых для составления шифра, - 26, буквы занимают первые 3 позиции шифра и не повторяются, а цифры могут повторяться?
16. Шифр сейфа состоит только из 6 цифр, которые должны набираться последовательно и могут повторяться. Чему в этом случае равно общее число всех возможных комбинаций шифра?
17. Числа 10, 11, 12, 13, ..., 20 расставляют в один ряд. Сколько существует способов расстановки этих чисел таким образом, чтобы все четные числа стояли подряд?
18. Почтовый индекс состоит из 6 цифр. Сколько различных почтовых отделений можно зашифровать с использованием индекса? Сколько почтовых отделений можно открыть в городе Ростове-на-Дону, если код города - первые 3 цифры индекса - 344.
19. На прилавке киоска выложены 10 различных журналов, рекламирующих компьютерную технику. У покупателя хватает денег на приобретение только 2 из них. Сколько всевозможных вариантов выбора журналов случайным образом может осуществить покупатель?
20. Фирма организует 4 новых филиала и выбирает помещения для аренды из 8 подходящих одинаково удобных помещений. Сколько существует способов отбора 4 помещений из 8 в случайном порядке?
21. Выделены крупные суммы на выполнение 5 объектов строительных работ. Сколько существует способов случайного распределения этих 5 объектов между 7 возможными фирмами-подрядчиками?
Раздел 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Тема 2.1. Случайные события. Понятие вероятности
Вопросы и тесты для самоконтроля
1. Дайте определение случайного события, элементарного события, достоверного и невозможного события.
2. Самостоятельно придумайте примеры элементарных, достоверных и невозможных событий.
3. Дайте определение пересечения и объединения двух или нескольких событий. Приведите свои примеры.
4. Какие случайные события называются совместными и какие несовместными?
5. Самостоятельно придумайте примеры совместных и несовместных событий.
6. Какие случайные события называются единственно возможными?
7. Приведите примеры единственно возможных случайных событий.
8. Какие случайные события называются равновозможными?
9. Приведите примеры равновозможных случайных событий.
10. Какая группа случайных событий называется полной?
11. Что понимают под суммой нескольких событий?
12. Что понимают под произведением нескольких событий?
13. Ответьте на вопросы теста:
1. Какие из предложенных из событий являются совместными?
а) Опыт - бросание монеты.
События: А - выпала цифра;
В - выпал герб.
b) Опыт - бросание игральной кости.
События: А - выпадение единицы;
В - выпадение тройки;
С - выпадение четного числа очков,
с) Опыт - бросание двух монет.
События: А - хотя бы на одну из монет выпадет герб;
В - на обеих монетах выпадет герб;
d) Опыт - два выстрела по мишени.
События: А - есть хотя бы одно попадание;
В - ни одного попадания.
2. Какие из предложенных из событий являются несовместными?
а) Опыт - бросание монеты.
События: А - хотя бы на одной монете выпал герб;
В - на обеих монетах выпал герб.
b) Опыт - 2 выстрела по мишени.
События: А - хотя бы одно попадание;
В - ни одного попадания.
с) Опыт - бросание игрального кубика.
События: А - выпадение шестерки;
В — выпадение четного числа очков,
d) Опыт - сдача экзамена.
События: А - получение оценки «3» на экзамене;
В - получение оценки ниже «5».
3. Какие из предложенных событий являются противоположными?
а) Хотя бы одно попадание и ни одного попадания при двух выстрелах.
b) Выпадение двойки и выпадение тройки при бросании игрального
кубика,
с) Получение оценки «5» и «2» на экзамене.
Один выигрыш и два выигрыша для владельца двух лотерейных
билетов.
4. Какие из предложенных событий образуют полную группу событий?
а) Выигрыш по первому билету и проигрыш по второму лотерейному билету при наличии двух лотерейных билетов.
b) Два попадания, одно попадание и ни одного попадания при двух выстрелах.
с) Появление 1, 2, 3, 4 при бросании игрального кубика. Получение оценки «5» и «4» на экзамене.
5. Что понимают под суммой двух несовместных событий А и В?
а) Совместное появление событий Аи В.
b) Появление хотя бы одного из событий А или В.
с) Появление либо события А, либо события В.
6. Что понимают под произведением двух событий А и В?
а) Появление хотя бы одного из событий А или В.
b) Совместное появление событий А и В.
с) Появление либо события А, либо события В.
7. Опыт состоит в том, что бросают две монеты — медную и серебряную.
Событие А - выпал хотя бы один герб. Событие В — выпала хотя бы
одна цифра. Какому из перечисленных событий будет равно событие
А*В?
а) Не выпало ни одного герба.
b) Выпал один герб и одна цифра.
с) Выпало два герба.
8. Опыт состоит в том, что бросают две монеты — медную и серебряную.
Событие А - выпал герб на медной монете. Событие В — выпал герб на серебряной монете. Какому из предложенных событий будет равно событие А + В?
а) Выпал один герб.
b) Не выпало ни одного герба,
с) Выпали цифры на обеих монетах.
Варианты задач для самостоятельного решения
1. Пусть событие А состоит в
том, что из 6 случайным образом купленных газет не менее 2 газет окажутся
местными. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию А, событию 
?
2. Какие события могут произойти, если из корзины, в которой 15 яблок, 10 апельсинов и 6 лимонов, вынимают 4 произвольных фрукта? Сколько способов такого выбора составят полную группу событий?
3. Пусть событие А состоит
в том, что из 5 выстрелов стрелок попал в цель менее 3 раз. Сколько
элементарных событий благоприятствуют событию А, событию ?
4. Пусть событие В состоит
в том, что, произведя 5 выстрелов в цель, стрелок попал четное число раз.
Сколько элементарных событий благоприятствуют событию В, событию 
?
5. Пусть событие А состоит в
том, что из 5 выстрелов стрелок попал в цель менее 3 раз, а событие В состоит
в том, что произведя 5 выстрелов в цель, стрелок попал четное число раз.
Сколько элементарных событий благоприятствуют событиям А + В,АВ,А-В, + В, +А, + ,А, , В?
6. Пусть событие А состоит в
том, что в серии из 10 подбрасываний монеты орел выпадет более 5 раз. Сколько
элементарных событий благоприятствуют событию А, событию ?
7. Пусть событие В состоит
в том, что в серии из 10 подбрасываний монеты орел выпадет четное число раз,
не менее 2. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию В, событию
?
8. Пусть событие А состоит а
в том, что в серии из 10 подбрасываний монеты орел выпадет более 5 раз, а
событие В состоит в том, что в серии из 10 подбрасываний монеты орел
выпадет четное число раз, не менее 2. Сколько элементарных событий
благоприятствуют событиям А + В,АВ,А-В, + В, +А, + ,А, , В?
9. Пусть событие А состоит
в изъятии туза из колоды в 36 карт. Сколько элементарных событий
благоприятствуют событию А, событию ?
10. Пусть событие В состоит
в изъятии из колоды в 36 карт карты червовой масти. Сколько элементарных
событий благоприятствуют событию В, событию ?
11. Пусть событие А состоит в
изъятии туза, а событие В состоит в изъятии карты червовой масти из
колоды в 36 карт. Сколько элементарных событий благоприятствуют событиям А +
В,АВ,А-В, + В, +А, + ,А, , В?
12. Определите объединение и пересечение событий А и Б, если А - событие, которое состоит в том, что из десяти выстрелов стрелок попал менее 6 раз в цель, а В - состоит в том, что число попаданий стрелка нечетно.
13. Определите объединение и пересечение событий А и В, если А - событие, которое состоит в том, что из 20 лотерейных билетов выигрышными оказались менее 4, а В - состоит в том, что из 20 лотерейных билетов более 2 билетов оказались выигрышными.
14. В гостинице 6 свободных номеров. Определите полную группу событий, состоящих в заселении определенного количества этих номеров.
15. Пусть событие А состоит в том, что из 10 случайным образом
купленных лотерейных билетов не более 2 окажутся выигрышными. Сколько элементарных событий
благоприятствуют событию А, событию?
Тема 2.2. Вероятности сложных событий
Вопросы и тесты для самоконтроля
1. Что называется вероятностью наступления случайного события? Дайте определение априорной и апостериорной вероятности. Приведите примеры и формулы вычисления этих вероятностей.
2. Что такое относительная частота события и статистическая вероятность?
3. Сформулируйте классическое определение вероятности.
4. В каких пределах изменяется вероятность события?
5. Чему равна вероятность появления одного из нескольких несовместных событий?
6. Чему равна сумма вероятностей событий, образующих полную группу?
7. Какие события называются независимыми?
8. Чему равна вероятность совместного появления двух независимых событий?
9. Чему равна вероятность совместного появления двух зависимых событий?
10. Какие случайные события называются зависимыми, а какие независимыми? Как для них определяется произведение вероятностей наступления для двух, для трех, для нескольких случайных событий?
11. Чему равна вероятность суммы двух, трех или нескольких случайных событий? Отчего зависит формула вероятности суммы случайных событий?
12. Вероятности, каких событий можно вычислить по формуле вероятности суммы случайных событий?
13. Чему равна вероятность произведения двух, трех или нескольких случайных событий? Отчего зависит формула вероятности произведения случайных событий?
14. Дайте определение условной вероятности случайного события. Вероятности, каких случайных событий можно вычислить по этой формуле?
15. Ответьте на вопросы теста:
1. По какой формуле можно вычислить вероятность совместного появления двух зависимых событий?
а) Р(А) + Р(В) - Р(А*В);
b) Р(А) + Р(В);
с) Р(А)-Р(В/А);
d) Р(А)*Р(В).
2. По какой формуле можно определить вероятность появления одного из двух несовместных событий А и В?
а) Р(А) + Р(В) - Р(А*В);
b) Р(А)*Р(В);
с) Р(А)+Р(В);
d) Р(А)*Р(В/А).
3. Известны вероятности событий А, В и С. Какая из вероятностей соответствует событию, состоящему в том, что выполнятся все события А, В и С?
а) 1-Р(АВС);
b) Р(А + В + С);
с) 1-Р(
);
d) 1-Р( + + );
е) Р(АВС).
4. Известны вероятности событий А, В и С. Какая из вероятностей соответствует событию, состоящему в том, что выполняется хотя бы одно из событий А, В и С?
а) 1-Р(А + В + С);
b) 1-Р( + + );
с) Р(АВС);
d) 1-Р().
Варианты задач для самостоятельного решения
1. В электрическую цепь последовательно включены 3 элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,1; 0,15; 0,2. Найти вероятность того, что при включении цепи в сеть тока в цепи не будет.
2. При покупке акций менеджер компании проводит анализ надежности банков, в результате которого выявляет, что надежности акций 3 обследованных банков равны: 70 % ; 80 % и 95 % соответственно. Определите вероятность следующих событий:
а) за год обанкротится хотя бы один из банков;
b) обанкротятся все 3 банка;
с) не обанкротится ни один банк.
3. В отделе работают 10 инженеров, 5 техников и 3 лаборанта. Среди сотрудников отдела случайным образом отбирают 5 человек для дежурства в праздничный день. Определите вероятность, что все 5 человек окажутся:
а) не техниками;
b) все дежурные будут инженерами.
4. Стандарт заполнения счетов, установленный фирмой, предполагает, что не более 4 % счетов будут заполняться с ошибками. Время от времени компания проводит случайную выборку счетов для проверки правильности их заполнения. Исходя из того, что допустимый уровень ошибок ~ 4 % и 5 счетов отобраны в случайном порядке, чему равна вероятность того, что среди выбранных счетов нет ошибок?
5. Из колоды в 52 карты последовательно вынимают четыре. Чему равна вероятность событий А и В:
а) А — не вытащить девятку;
b) В ~ все карты будут одной масти?
6. Известно, что в среднем один из 20 покупателей магазина «Современное видео» приобретает дорогостоящую аппаратуру. В течение первой половины дня магазин посетили 12 покупателей. Определите вероятность, что за это время будет сделана хотя бы одна дорогая покупка.
7. В коробке конфет 15 с шоколадной начинкой, 12 с помадкой и 18 с повидлом. Наудачу из коробки выбирают 3 конфеты. Определите вероятность того, что среди выбранных окажутся:
а) все 3 с помадкой;
b) две с шоколадной начинкой и одна с повидлом;
с) ни одна конфета не будет с повидлом.
8. В колледже, по сведениям учебной части, 25 % студентов учатся на «отлично». Случайным образом выбирают трех студентов. Определите вероятность того, что:
а) все они окажутся отличниками;
b) ни один из них не будет отличником;
с) хотя бы один из них - отличник.
9. Вероятность того, что покупатель, посетив магазин «Поиск», купит принтер, равна 0,15, а модем - 0,25. Вероятность того, что покупатель приобретет и модем, и принтер — 0,08.
Определите вероятность то, что наудачу зашедший в магазин покупатель не приобретет ни модем, ни принтер.
10. В колледже 750 студентов, 400 из них изучают бухгалтерский учет, а 350 - программирование, 200 студентов изучают и бухгалтерский учет, и программирование. Чему равна вероятность того, что случайно студент не изучает ни бухгалтерский учет, ни программирование?
11. На литейном заводе один из цехов производит пули. Контроль качества обнаружил, что одна из 100 пуль изготовлена с дефектом. Если случайным образом извлечь 2 пули из большого контейнера, то чему равна вероятность того, что, по крайней мере, одна из них будет изготовлена с дефектом?
(Предлагаем независимость событий, это предположение справедливо вследствие случайности отбора.)
12. О двух акциях А и В известно, что они выпущены одной той же отраслью. Вероятность того, что акция А поднимется завтра в цене, равна 0,2. Вероятность того, что обе акции А и В поднимутся завтра в цене, равна 0,12. Предположим, что вы знаете, что акция А поднимется в цене завтра. Чему равна вероятность того, что и акция В завтра поднимется в цене?
13. В урне имеются шары с номерами от 1 до 25, наудачу извлекается 4 шара. Какова вероятность того, что А - все шары будут нечетными, В - все номера будут нечетными и кратны 3.
14. В коробке содержатся 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу из коробки извлекают по одному 3 кубика.
Определите вероятность того, что кубики с номерами 1, 2,
3 появляются последовательно, если кубики извлекаются:
а) без возращения;
b) с возращением (извлеченный кубик возвращается в коробку).
15. В лунки с номерами от 1 до 8 разбрасываются наудачу
4 шара (в каждую лунку может попасть только один шар). Определить вероятность того, что в лунках с номерами 4 и 5 будут шары.
16. Игрок из колоды карт без возращения по 1 извлекает карты до тех пор, пока не появится туз. Определить вероятность того, что он сделает ровно 4 извлечения.
17. Производится 6 подбрасываний монеты. Определить вероятность того, что гербы выпадут 2 раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.
18. 2 стрелка имеют по 3 патрона и стреляют по очереди. Вероятность попадания первого стрелка р1 = 0,8, второго -Р2 ~ 0,6. Определить вероятность того, что первым попадет второй стрелок.
19. В колоде 36 карт, из которых извлекли 4 карты. Определить вероятность того, что 2 карты будут с черными картинками, а другие 2-е красными картинками.
20. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будет сбрасываться 4 бомбы с вероятностями попадания, соответственно равными 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
21. Инвестор предполагает, что в следующем периоде вероятность роста цены акций компании N будет составлять ОД, а компании М - 0,4. Вероятность того, что цены поднимутся на те и другие акции, равна 0,28. Вычислите вероятность роста цен на акции или компании N. или компании М, или обеих компаний вместе.
22. Имеются 3 партии электроламп. Вероятности того, что лампа проработает заданное время, равны соответственно для этих партий 0,7; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что наудачу выбранная лампа проработает заданное время.
Раздел 3. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (ДСВ)
Тема.3.1. ДСВ. Распределение ДСВ. Функции от ДСВ
Вопросы для самоконтроля
1. Какая группа случайных событий называется полной?
2. Приведите примеры полных групп событий.
3. Чему равна сумма вероятностей полной группы случайных событий?
4. Какие события называют гипотезами и почему?
5. Чему равна сумма вероятностей гипотез?
6. Приведите примеры случайных событий, которые осуществляются только совместно с какой-нибудь гипотезой.
7. Для каких случайных событий вероятность определяется по формуле полной вероятности?
8. Запишите формулу вычисления полной вероятности и поясните смысл ее слагаемых.
9. Приведите примеры событий, вероятность которых вычисляется по формуле полной вероятности.
10. Какие вероятности вычисляются по формуле Байеса?
11. Почему вероятности, вычисленные по формуле Байеса называются апостериорными?
12. Приведите примеры использования апостериорных вероятностей.
Варианты задач для самостоятельного решения
Указания к решению задач. При решении задач к главе 4 необходимо знать формулу полной вероятности и формулу Байеса и уметь их использовать для определения апостериорной вероятности. Необходимо обозначить событие и гипотезы, которые составляют полную группу событий.
1. Курортная гостиница планирует наплыв отдыхающих в •речение летнего времени и проводит бронирование номеров. Поскольку в этом виде бизнеса очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все номера были заняты отдыхающими. Руководство гостиницы предполагает, что вероятность того, что в июле гостиница будет заполнена, если погода будет солнечная, равна 0,92, если погода будет дождливая - 0,72. По оценкам синоптиков, в течение июля будет 75 % солнечных дней. Чему равна вероятность того, что гостиница будет заполнена в течение июля?
2. На конвейер поступают детали, производимые тремя станками, при этом первый станок производит 50 % всех деталей, второй - 30 %, а третий - 20 %. Если на конвейер попадает деталь с первого станка, то вероятность того, что она будет исправна, равна 0,98, второй станок выпускает детали с надежностью 0,95, а третий — с надежностью 0,8. Определите вероятность того, что если с конвейера сошел негодный узел, то деталь к нему изготовлена на первом станке.
3. В конкурсе на лучшую курсовую работу участвуют 20 студентов первого курса, 22 студента второго и 18 участников учатся на третьем курсе. Шансы на победу студента первого курса оцениваются в 55 %, второкурсник победит с вероятностью 60 %, студент третьего курса — с вероятностью 70 %. Определите вероятность того, что победивший студент второкурсник.
4. Директор кампании имеет два списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке - фамилии 6 женщин и 3 мужчин, во втором - 4 женщин и 7 мужчин. Из первого списка случайно перенесли одну фамилию во второй список. Определите вероятность того, что из первого списка была перенесена фамилия женщины, если при случайном выборе из второго списка была изъята фамилия мужчины.
5. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,75 и 0,10 соответственно. При «хорошей» ситуации индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, при «посредственной» — с вероятностью 0,3 и при «плохой» — с вероятностью 0,1. Определите вероятность того, что экономическая ситуация в стране не «плохая», если известно, что индекс экономического состояния возрос.
6. Изделие комплектуется из деталей, производимых на трех заводах, при этом первый завод производит на 10 % деталей больше, чем второй и третий. Если изделие комплектуется деталями с первого завода, то вероятность того, что каждая деталь будет исправна — равна 0,9, второй завод выпускает детали с надежностью 0,93, а третий — с надежностью 0,95. Определите вероятность того, что если изделие качественное, то деталь к нему изготовлена не на третьем заводе.
7. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов, соответственно в количестве 19, 6 и 11 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями 0,85; 0,76 и 0,71. Рабочий случайным образом выбирает один двигатель и монтирует его к устройству. Двигатель проработал безотказно до конца гарантийного срока. Найти вероятность того, что этот двигатель, изготовлен не вторым заводом-изготовителем.
8. На стойке находится 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, сможет поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела — с вероятностью 0,46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
9. Имеются три партии электроламп, изготовленных на разных заводах, первая содержит 200, вторая - 100, а третья – 300 лампочек. Все изделия поместили в один контейнер. Надежности работы ламп для этих заводов равны соответственно 0,7, 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что наудачу выбранная лампа проработает заданное время. Определите вероятность того, что если случайно вынутая из контейнера лампочка оказалась негодной, то она изготовлена на втором заводе.
10. Агент по недвижимости пытается сдать в аренду помещение. Предположительно, по оценке эксперта-экономиста, сдать в аренду помещение за установленную плату можно с вероятностью 0,8, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация несколько ухудшится, то вероятность сдать в аренду помещение составит 0,6. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,9, экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что агенту удастся сдать в аренду помещение за установленную плату?
11. Страховая компания делит застрахованных клиентов на группы риска: 1-я группа - малый риск; 2-я группа - средний; 3-я группа - большой риск. Среди клиентов страховой компании 55 % - первой группы; 30 % - второй группы; 15 % - третьей группы. Вероятность обязательной выплаты страхового вознаграждения для первой группы риска составляет 0,01; для второй группы - 0,03; для третьей - 0,08. Какова вероятность того, что застрахованный клиент получит денежное вознаграждение за период страхования? Оцените вероятность того, что клиент, получивший денежное вознаграждение, относится к группе среднего риска?
12. Два станка производят одинаковые детали для стиральной машины, которые поступают при сборке на общий конвейер Производительность первого станка вдвое больше производительности второго станка. Первый станок производит в среднем 70 % деталей отличного качества, а второй - 90 % Деталей отличного качества. Наудачу выбранная с конвейера машина оказалась укомплектованной деталью отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена первым станком.
13. На рынке представлены колбасные изделия трех заводов, причем первый завод представил в 2 раза больше наименований колбас, чем второй, а второй и третий представляют одинаковое число наименований колбас. По оценке экспертов, продукцию первого завода покупают с вероятностью 0,7, продукцию второго завода - с вероятностью 0,8, продукцию третьего завода - с вероятностью 0,75. Покупатель выбирает сорт колбасы. Оцените вероятность того, что эта колбаса изготовлена на третьем колбасном заводе.
14. В горном районе установлен сейсмический датчик, который срабатывает, когда возникает угроза землетрясения, с вероятностью 0,98. Датчик может сработать и случайно с вероятностью 0,01. Реальная вероятность сейсмической нестабильности в районе оценивается в 0,001. Предположим, что датчик сработал. Чему равна вероятность реальной угрозы землетрясения?
15. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку оборудования для пищевых комбинатов в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,55; в противном случае - в 0,35. По оценкам экспертов компании, вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,60. Чему равна вероятность заключения контракта?
16. В экзаменационных билетах по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» 15 вопросов к первому разделу, 20 вопросов - ко второму, 25 вопросов - к: третьему и 15 вопросов к четвертому разделу дисциплины. Студент выучил 12 вопросов к первому разделу, 15 вопросов - ко второму, 15 вопросов - к третьему и 10 вопросов к четвертому разделу. Студент наудачу вытаскивает билет, ответ на который он хорошо знает. Определите вероятность того, что этот вопрос не из четвертого раздела.
Тема 3.2. Характеристики ДСВ и их свойства
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение дискретной случайной величины. Какими способами она может задаваться? Приведите примеры.
2. Что представляет собой полигон распределения дискретной случайной величины?
3. Что представляет собой ряд распределения дискретной случайной величины? Какими способами он может рассчитываться?
4. Дайте определение функции распределения дискретной случайной величины. Какими способами она может задаваться?
5. Что представляет собой график функции распределения дискретной случайной величины?
6. Дайте определение характеристикам дискретной случайной величины. Приведите формулы их расчета и определите, в чем состоит их сущность?
7. Для каких дискретных случайных величин вероятности появления событий можно вычислять по формуле Бернулли?
8. Вероятности, каких событий определяются по формуле Бернулли? Приведите примеры.
9. Как определить, что из п испытаний событие наступит менее (не менее) чем т раз?
10. Как определить что из п испытаний событие наступит менее (не менее) чем т раз?
11. Какая функция называется кривой вероятностей? Выделите основные свойства кривой вероятностей.
12. Сформулируйте локальную теорему Муавра-Лапласа в схеме Бернулли.
13. Когда формула Муавра-Лапласа дает хорошее приближение для определения вероятности Рп т?
14. В чем состоит сущность интегральной теоремы Муавра-Лапласа?
15. Какими свойствами обладает функция Лапласа Ф0(х)?
16. Если р не слишком близко к нулю или к единице, а количество испытаний n достаточно велико, то какие формулы дают достаточно высокую точность вычислений?
17. Какое распределение дискретной случайной величины называется распределением Пуассона?
18. Для каких дискретных случайных величин вероятности появления событий можно вычислять по формуле Пуассона?
19. Какое распределение дискретной случайной величины называется гипергеометрическим распределением?
20. Для каких дискретных случайных величин вероятности появления событий можно вычислять как гипергеометрические?
Варианты задач для самостоятельного решения
1. Для освещения зала используют 6 электрических лампочек. Для каждой из них вероятность остаться исправной в течение года равна 0,85.
а) Постройте ряд распределения числа перегоревших в течение года лампочек.
b) Найдите числовые характеристики этого распределения.
с) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график.
d) Определить вероятность того, что в течение года перегорит не более 2 лампочек.
е) Определить вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампочка не перегорит.
2. Компьютерный зал библиотеки в среднем посещают 7 студентов в час.
а) Постройте ряд распределения числа студентов, посетивших компьютерный зал в течение часа.
b) Найдите числовые характеристики этого распределения.
с) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график.
d) Определите вероятность того, что в течение часа придут не более 5 студентов.
е) Определить вероятность того, что число студентов, посетивших компьютерный зал в течение часа, больше 7.
3. Вероятность того, что новое колесо машины прослужит без замены в течение двух лет, равна 0,95. Определите, сколько вероятнее всего колес придется сменить в течение двух лет.
4. Юноша, желающий стать военным летчиком, должен пройти 4 испытания. Вероятность успешного выполнения задания при испытании - 0,8. Какова вероятность того, что он успешно сдаст не менее 2 испытаний. Определите вероятность, что число успешно пройденных испытаний менее одного.
5. На трассе трубопровода протяженностью 10 км в среднем наблюдается два аварийных участка, требующих ремонта. Постройте ряд распределения числа аварийных участков трубопровода, протяженностью в 20 км. Постройте функцию распределения и ее график. Сколько вероятнее всего аварийных участков будет наблюдаться на этом трубопроводе?
6. Аналитик предполагает, что один из 600 вкладчиков утроит свой капитал в течение года, вложив его в новое производство. 1000 вкладчиков вложили деньги в производство. Определите вероятность того, что 3 вкладчика утроят свой капитал в течение года. Определите наивероятнейшее число вкладчиков.
7. Известно, что в среднем 25 % людей, делающих предварительный заказ на обслуживание в ресторане, не будет его использовать. Если на вечер было заказано обслуживание 20 столиков в ресторане, в котором лишь 15 столиков, чему равна вероятность того, что все заказы посетителей, пришедших в ресторан вечером, будут удовлетворены?
8. Среди 25 билетов лотереи 5 билетов выигрышные. Покупатель случайным образом выбирает 6 билетов. Требуется составить ряд распределения числа выигрышных билетов среди забранных, построить функцию распределения дискретной случайной величины - числа выигрышных билетов и найти характеристики этой случайной величины. Какова вероятность, что выигрышных билетов будет более 3?
9. Вероятность того, что на фабрике будет выпущено некачественное сверло - 0,002. Изготовленные сверла упаковываются в ящики по 1000 штук.
а) Постройте ряд распределения числа некачественных сверл в ящике.
b) Найдите числовые характеристики этого распределения.
с) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график.
d) Определите вероятность того, что в ящике окажется не более 3 некачественных сверл.
е) Определите вероятность того, в течение первой половины дня в магазине будет хотя бы одна дорогостоящая покупка.
10. Известно, что в среднем один из 25 покупателей магазина «Поиск» приобретает дорогостоящую технику. В течение первой половины дня магазин посетили 12 покупателей.
а) Постройте ряд распределения числа покупателей магазина, совершивших дорогую покупку.
b) Найдите числовые характеристики этого распределения.
с) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график.
d) Определите вероятность того, что в течение первой половины дня в магазине будет произведено не более 3 покупок.
e) Определите вероятность того, в течение первой половины дня в магазине будет хотя бы одна дорогостоящая покупка.
11. В сберегательной кассе среди 20 денежных купюр, достоинством в 500 рублей, 8 старого образца. Выдавая деньги посетителю, кассир случайным образом выбирает 7 купюр. Составьте ряд распределения числа купюр старого образца, выданных посетителю. Постройте функцию распределения числа купюр старого образца и ее график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Определите вероятность того, что среди купюр, выданных посетителю:
а) не окажется купюр старого образца;
b) все купюры будут старого образца;
с) купюр старого образца окажется не менее 2.
12. Студент, подготовившийся к сдаче экзамена, правильно решает не менее 75 % задач. Считая вероятность правильного решения задачи студентом постоянной, составьте ряд распределения возможного числа неверных решений студентом 5 задач, предложенных на экзамене; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте его график. Определите, сколько задач, скорее всего, правильно решит студент. Чему равна вероятность того, что студент правильно решит хотя бы 4 задачи?
13. В процессе передачи информации по каналу связи вероятность ошибочной передачи слова - 0,00001. По каналу передавали текст, содержащий 600 000 слов. Постройте ряд распределения числа возможных ошибок, постройте его график и найдите характеристики дискретной случайной величины - числа ошибок при передаче. Определите вероятность того, что число ошибок будет не более 5.
14. Вероятность попадания в мишень при выстреле 0,001. Какова вероятность того, что при 5000 выстрелов будет не более 2 попаданий? Определите наивероятнейшее число попаданий.
15. Торговый агент из опыта знает, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,25. В среднем он имеет дело с 8 покупателями в день. Составьте ряд распределения покупателей, совершивших покупку за один день. Найдите числовые характеристики этого распределений-
Запишите функцию распределения вероятности и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 2 покупателя совершат покупку? Сколько покупателей, скорее всего, совершат покупку?
16. Вероятность того, что банк обанкротится, равна 12 %. В случайном порядке выбраны 6 банков. Составьте ряд распределения не обанкротившихся в этом году банков. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятности. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 3 банка обанкротятся? Какое наивероятнейшее число обанкротившихся банков?
17. В экзаменационных билетах 20 задач, 7 из которых относятся к первому разделу, 8 - ко второму, а остальные - к третьему. Студент случайным образом выбирает 4 задачи. Постройте ряд распределения числа задач из второго раздела среди выбранных. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятности и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 2 задачи окажутся из второго раздела? Все задачи будут из второго раздела?
18. На автовокзале время прибытия автобусов различных рейсов объявляет дежурный. Появление информации о различных рейсах происходит случайно и независимо друг от друга. В среднем на автовокзал прибывает 5 рейсов каждые полчаса.
а) Составьте ряд распределения числа сообщений о прибытии автобусов в течение получаса.
b) Найдите числовые характеристики этого распределения;
с) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график.
d) Чему равна вероятность того, что в течение получаса прибудут не менее 3 автобусов?
е) Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не прибудет ни один автобус?
19. Вероятность того, что при контроле качества продукции прибор не пройдет испытания, равна 0,006. На контроль поступила партия из 30 000 приборов. Найдите вероятность того, что100 из них будут бракованными. Определите наивероятнейшее число приборов, не прошедших испытание.
20. Прядильщица обслуживает 2000 веретен. Вероятность обрыва нити на веретене 0,002. Найти вероятность того, что число обрывов будет меньше 3.
21. Для поступления в колледж необходимо успешно сдать вступительные экзамены. В среднем их успешно сдают лишь 65 % абитуриентов. Предположим, что в приемную комиссию поступило 700 заявлений. Чему равна вероятность того, что хотя бы 500 поступающих успешно сдадут все экзамены?
Тема 3.3. Биноминальная величина. Геометрическая величина
Вопросы для самоконтроля
1. Что означает свойство устойчивости массовых случайных явлений?
2. Объясните физическое содержание закона больших чисел.
3. Что понимается в широком смысле слова и в узком смысле слова под «законом больших чисел»?
4. Какие теоремы известны под названием «центральной предельной теоремы»?
5. Чем различаются между собой различные формы центральной предельной теоремы?
6. В чем состоит предельное свойство суммы случайных величин?
7. При каких условиях можно использовать неравенство Чебышева?
8. Какие значения принимает у подавляющего большинства
встречающихся на практике случайных величин вероятность попадания в интервал а-З
<Х<а + 3?
9. Чему равна вероятность
попадания в интервал а -3 <-X < а + З для нормально распределенных случайных вр личин?
10. В чем заключается смысл теоремы Чебышева?
11. Какие теоремы относятся к группе центральной предельной теоремы? Сформулируйте теорему Бернулли.
12. Что утверждает центральная предельная теорема Ляпунова?
Варианты задач для самостоятельного решения
1. Количество электроэнергии, потребляемой поселком в течение суток, является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 4 тыс. кВт • ч. Оцените вероятность того, что в ближайшие сутки потребление энергии: а) превысит 8 тыс. кВт • ч.; б) не превысит 6 тыс. кВт • ч.
2. Пользуясь неравенством Чебышева, оцените вероятность того, что из посеянных 5000 семян число взошедших окажется от 3750 до 4250, если известно, что М (Х) = 4000. Определите вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.
3. Количество кормов, расходуемых на ферме крупного рогатого скота в сутки, является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 6 т. Оцените вероятность того, что в ближайшие сутки расход кормов на ферме превысит 10 т.
4. Вероятность вызревания семян овощной культуры в данной местности составляет 0,8. С помощью неравенства Чебышева оцените вероятность того, что из 1000 растений число растений с вызревшими семенами составит от 750 до 850. Определите вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.
5. В хозяйстве имеется 100 автомобилей. Вероятность безотказной работы каждого из них в течение определенного пери" ода составляет 0,9. С помощью неравенства Чебышева оцените вероятность того, что отклонение числа безотказно работавших автомобилей за определенный период от его математического ожидания не превзойдет по модулю 5.
6. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
|
х |
2 |
3 |
6 |
9 |
|
р |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
Используя неравенство Чебышева, оцените вероятность того, что
\Х-М (х)\>3.
7. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
|
х |
-1 |
0 |
1 |
3 |
5 |
|
р |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
Используя неравенство Чебышева, оцените вероятность того, что
\Х-М
\<2,5.
8. Всхожесть семян некоторого растения составляет 90 %. Используя неравенство Чебышева, оцените вероятность того, что из посеянных 5000 семян: а) отклонение доли взошедших семян от постоянной вероятности взойти каждому из них не превзойдет по модулю 0,03; б) отклонение числа взошедших семян от математического ожидания не превзойдет по модулю 100.
9. Выборочным способом определяют вес колосьев ячменя. Сколько необходимо отобрать колосьев, чтобы с вероятностью не меньшей 0,99 можно было утверждать, что средний вес случайно отобранных колосьев будет отличаться от среднего веса колосьев во всей партии (принимаемого за математическое ожидание) не более чем на 0,1 г? Установлено, что среднее квадратическое отклонение веса не превышает 0,2 г.
10. Сколько человек необходимо отобрать для определения удельного веса лиц со специальным образованием, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что отклонение относительной частоты лиц со специальным образованием от их доли, принимаемой за постоянную вероятность, не превышало по мо дулю 0,04?
Раздел 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)
Вопросы для самоконтроля
1. Какие случайные величины являются непрерывными?
2. Какая функция распределения используется для характеристики непрерывных случайных величин?
3. Дайте определение дифференциальной функции распределения вероятностей. Каким условиям она должна удовлетворять?
4. Сформулируйте и объясните свойства функции распределения и плотности распределения непрерывных случайных величин.
5. По какой формуле
определяется вероятность попадания случайной величины X в
интервал от 
до
?
6. Как графически изображается функция у = f(x)?
7. Перечислите числовые характеристики непрерывных случайных величин. По каким формулам они определяются и в чем их смысловое значение?
8. Для чего используются начальные и центральные моменты? Как они рассчитываются?
9. Для чего служат эксцесс и коэффициент асимметрии?
10. Дайте характеристику равномерного распределения.
11. Какая случайная величина называется величиной, распределенной по нормальному закону?
12. Какие формулы
используются для определения вероятности попадания случайной величины X в интервал от до ?
13. Как формулируется правило трех сигм для нормально распределенной случайной величины?
14. Какая формула используется для расчета вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал?
15. В чем отличие формул, определяющих вероятность попадания частоты и частости (относительной частоты) случайной величины, распределенной по биномиальному закону в некоторый интервал?
Варианты задач для самостоятельного решения
1. Месячная норма выработки деталей рабочими одного из цехов крупного завода распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 1700 деталей и стандартным отклонением 300 деталей. Найдите вероятность того, что в определенный месяц будет изготовлено, по крайней мере, 1800 деталей. Какова вероятность, что в произвольный месяц количество деталей не превысит 1500? Чему равна вероятность того, что количество изготовленных деталей будет больше 1550, но меньше 1900?
2. Тесты по математике показали, что 60 % абитуриентов набрали более 80 баллов, а 30 % выполнили задание лишь на 50 баллов. Какой средний балл ожидается при оценке тестирования на вступительных экзаменах? Чему равно среднее квадратическое отклонение набранных баллов абитуриентов?
3. Известно, что средний апельсин весит 8,8185 унции со средним квадратическим отклонением 3,5274 унции. Вес апельсина - случайная величина, которая распределена по нормальному закону. Требуется определить вероятность того, что случайно выбранный апельсин весит не менее 8,1130 унции. Чему равна вероятность того, что вес апельсина будет находиться в интервале от 200 до 10,5822 унции? (10,22 унции = * 300 граммов).
4. Вероятность того, что компьютер прослужит без ремонта 18 месяцев, равна 0,86. Какова вероятность, что из партии "00 компьютеров не более 15 % попадут на гарантийный ремонт в течение этого срока?
5. Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, - нормально распределенная случайная величина. ; известно, что 70 % контейнеров имеют чистый вес больше чем 5 тонн и 30 % — имеют вес меньше чем 4 тонны. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.
6. Предположим, что в течение года потребление электроэнергии одним из предприятий области есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 950 кВт в сутки, и стандартным отклонением, равным 150 кВт. Определите вероятность того что в случайно выбранный день обсуждаемого периода потребление электроэнергии: а) более 1200 кВт; б) менее 600 кВт; в) заключено в интервале между 750 и 1050 кВт в сутки.
7. Предварительный заказ на железнодорожные билеты производится в кассах вокзала. Известно, что в среднем 5 % людей, делающих предварительный заказ на определенный поезд, сдаст билеты в кассу возврата. Если желающих уехать фирменным поездом «Рида» в летнее время и сделавших предварительный заказ билетов оказалось 820, а посадочных мест только 780, то чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего уехать?
8. Пусть прогноз относительно величины
банковской процентной ставки в текущем году подчиняется нормальному закону со
средним значением, а = 9 % и стандартным отклонением = 2,6 %. Из группы
аналитиков случайным образом отбирается один человек. Найдите вероятность того,
что согласно прогнозу этого аналитика уровень процентной ставки:
а) превысит 11 % ;
б) окажется менее 14 % ;
в) будет в пределах от 12 до 15 % .
9. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 условным денежным единицам, и стандартным отклонением, равным 6. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была:
а) более 60 условных денежных единиц?
б) ниже 60 за акцию?
в) выше 40 за акцию?
г) между 40 и 50 условных денежных единиц за акцию?
10. Средний гарантийный срок службы холодильной установки определенной марки составляет 40 месяцев со стандартным отклонением ст = 10 мес. Пусть срок гарантии холодильной установки подчиняется нормальному закону. Сколько месяцев в таком случае гарантийный ремонт не понадобится 90 % холодильных установок?
11. Фирма, производящая диваны на заказ, ежемесячно анализирует количество заказов. Число этих заказов - есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением о = 50 и неизвестным математическим ожиданием. Известно, что в 80 % случаев число ежемесячных заказов превышает 150. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
12. На мясокомбинат еженедельно поступает партия говядины. Вес поступившей партии - есть нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 15 тонн и неизвестным средним квадратическим отклонением. Определите среднее квадратическое отклонение, если известно, что 70 % партий не превышают 17 тонн.
13. Еженедельный выпуск периодической печати приблизительно распределен по нормальному закону со средним значением, равным 13 000 экземпляров в неделю, и стандартным отклонением - 1000 экземпляров. Найдите вероятность того, что еженедельный выпуск периодической печати:
а) превысит 15 000 экземпляров;
б) окажется ниже 10 000 экземпляров в данную неделю;
в) предположим, что недельный выпуск периодической печати стал ниже 8000 ед. Означает ли это снижение выпуска печатной продукции или он находится в пределах принятого Уровня (±3ст)?
14. Процент жирности молока, поступающего на консервный завод с молочной фермы, - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 3,2 % и стандартным отклонением 0,3 % . Производителям корма необходимо, Чтобы в 98 % молока, используемого для производства сгущенки, процент жирности составлял не меньше х1 %, но не более Х2 /о. Найти х1 и х2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абезгауз Г. Г., Тронь А. П., Коненкин Ю. Н., Коровина И. А. Справочник по вероятностным расчетам. - М., 1970.
2. Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей. - М.: Высшая школа, 1994.
3. Бочаров П. П., ПечинкинА. В. Теория вероятностей. Математическая статистика. - М.: Гардарика, 1998.
4. Венецкий И. Г., Венецкая В. И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. - М.: Статистика, 1974.
5. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Высшая школа, 2000.
6. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. -М.: Высшая школа, 2001.
7. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 2001.
8. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа 1988.
9. Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. - М.: Наука, 1970.
10. Гнеденко Б. Г. Курс теории вероятностей, б-е изд. - М.: Наука, 1988.
11. Горелова Г, В., Кацко И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах. - Ростов н/Д: Феникс, 2001.
12. Гурский Е. И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. - М.: Высшая школа, 1971.
13. Дружинин Н. К. Математическая статистика в экономике. -М., 1971,
14. Иванова В. М., Калинина В. Н. Математическая статистика. - М.: Высшая школа 1981.
15. Иванова В. М., Калинина В. Н., Нешумова Л. А., Решетникова И. О. Математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1981.
16. Ивашев-Мусатов В. С. Теория вероятности и математическая статистика. - М.: Наука, 1978.
17. Ивашев-Мусатов О. С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Наука, 1979.
18. Калемаев В. А., Калинина В. И. Теория вероятности и математическая статистика - М.: Высшая школа, 1981.
19. Калинина В. Н., Панкин В. Ф. Математическая статистика, - М.: Высшая школа, 2001.
20. Карасев А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. - М., 1971.
21. Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1982.
22. Колде Я. К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1991.
23. Математическая статистика / Под ред. проф. А. М. Длина. - М,: Высшая школа, 1975.
24. Ниворожкина Л. И., Морозова 3. А. Основы статистики с элементами теории вероятности. — Ростов н/Д: Феникс, 1999.
25. Розанов Ю. А. Лекции по теории вероятностей. - М.: Наука, 1986.
26.Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: Наука, 1982